Родился в Калуге 13 февраля (по другим данным, 13 января) 1915 года.После окончания в 1930-х годах ФЗУ (ныне профессиональное училище № 10) пришёл на Калужский электромеханический завод слесарем-инструментальщиком 4-го разряда. Уже через три года получил 7-й разряд.26 июня 1941 года, сразу после начала Великой Отечественной войны, ушёл в действующую армию. Воевал на Западном, Калининском, Северо-Западном фронтах.
В 1944 году в звании старшего сержанта служил старшим мастером артиллерийско-технической службы в 3-й ударной армии (2-й Прибалтийский фронт) вступил в ВКП(б). Тогда же ему было присвоено звание младшего техника-лейтенанта. Войну оканчивал на 1-м Белорусском фронте в Берлине в должности начальника оружейно-пулемётного цеха армейских артиллерийских ремонтных мастерских № 192. Был отмечен грамотой за подписью командующего группой советских оккупационных войск в Германии маршала Чуйкова. Грамота была выдана старшему технику-лейтенанту Аманшину В. П. «за активное участие в рационализаторско-изобретательской работе, дачу ценных предложений и проявление творческой инициативы при выполнении заданий командования» .Демобилизовавшись из армии, вернулся на Калужский электромеханический завод, который в это время осваивал производство нового телеграфного оборудования. Аманшин предложил изготовлять дешифраторные кольца — важную деталь телетайпа — не на импортном дорогостоящем оборудовании, а методом чистовой штамповки.Изобрёл несколько штамповочных автоматов. Был членом Центрального совета Всесоюзного общества изобретателей и рационализаторов.Одним из главных увлечений В. П. Аманшина со школьных лет была живопись. Ещё во время войны, будучи в 8-дневном отпуске, он написал одно из лучших своих полотен «Военная дорога» .
В 1954—1956 годах работал в Каменце-Подольском в художественной мастерской. Написал там картины «Переяславская Рада» , «Ледовое побоище» и другие.Позже он стал заниматься художественной обработкой металла, в том числе в жанре миниатюры. За создание скульптурной композиции «Бой на Чудском озере» размером со спичечный коробок его называли «потомком Левши» .
В июне 1974 года был членом правительственной комиссии по похоронам Маршала Советского Союза Г. К. Жукова, выступил с речью на траурном митинге на Красной площади.Был женат на Марии Дмитриевне Аманшиной, у них две дочери — Алла и Наталья.Умер в 1977 году после тяжелой болезни[уточнить].