Игорь Александров родился 11 мая 1932 года в Новосибирск в семье экономиста Александра Ивановича Александрова (1895—1937) и преподавателя русского языка и литературы Рахили Алексеевны Александровой (в девичестве Боголюбовой, 1909—1993); брат Игоря Николай (род. 1933) являлся доцентом на кафедре общей и экспериментальной химии Томского государственного университета.
В 1949 году, окончив с серебряной медалью новосибирскую среднюю школу № 10, Игорь Александров стал студентом механико-математического факультета Томского университета, который он в 1954 с отличием окончил по специальности «механика» . Получал стипендию имени Исаака Ньютона, а затем — Сталинскую стипендию; избирался комсоргом учебной группы и секретарем факультетского бюро ВЛКСМ, состоял членом Кировского районного комитета ВЛКСМ с 1953 по 1954 год, а также — был делегатом XV съезда ВЛКСМ.
В период с 6 августа 1954 по 16 февраля 1955 года Игорь Александров работал инженером на опытно-конструкторском заводе № 175 в Алма-Ате, а 7 марта он стал старшим лаборантом на кафедре алгебры университета. 1 октября он поступил в аспирантуру кафедры математического анализа, где его научным руководителем был профессор П. П. Куфарев. 14 апреля 1958 года он защитил кандидатскую диссертацию «Об области значений функционалов на классе функций, регулярных и однолистных в круге» .
С 1 сентября Александров стал ассистентом, а с 11 июня следующего года — доцентом кафедры математического анализа; 8 июля 1962 он стал старшим научным сотрудником (докторантом). 14 ноября 1963 года он защитил в Томске докторскую диссертацию, озаглавленную «Области значений функционалов и геометрические свойства функций» . 8 апреля 1964 года он занял пост профессора кафедры теории функций, а 1 сентября — стал заведующим кафедрой математического анализа.
В 1965 году он стал деканом механико-математического факультета: оставался в должности до 1968 года. Кроме того, в период с 1 октября 1956 по 10 июля 1957 года он являлся преподавателем (по совместительству) на кафедре математики ТЭМИИТа и старшим научным сотрудником СФТИ (1960—1962).
В 1968—1969 года заведовал отделом НИИПММ.
С 3 сентября 1969 года Игорь Александров являлся старшим научным сотрудником отдела теории функций в Донецком вычислительном центре и профессором (по совместительству) на кафедре математического анализа Донецкого университета.
В период с 13 февраля 1973 по 16 ноября 1981 год он занимал пост ректора Тюменского университета (ТюмГУ), где одновременно заведовал кафедрой теории функций и вариационных методов. Вернулся в Томск: с 1 июня 1982 по 31 августа 2013 года являлся заведующим кафедрой математического анализа университета, после чего (до 18 августа 2017) состоял профессор. Кроме того, в период с 1984 по 2008 год, он был деканом факультета повышения квалификации (ФПК). Член-корреспондент и заместитель председателя правления томского отделения Российской академии образования (РАО, 1993); член КПСС с 1956 по 1991 год, входил в Томский горком партии (1967—1969) и являлся депутатом Тюменского областного совета.