Родился 29 ноября (12 декабря) 1900 года в Орле в семье орловского купца Сергея Васильевича Акулова, который «владел в своё время всем речным транспортом на Оке. <…> Однако после постройки железной дороги, существенно ускорившей перевозки <…> полностью разорился» . Мать, Анфиса Васильевна, происходила из зажиточного рода купцов Калашниковых.Николай Акулов с 1910 по 1918 годы учился в Орловской мужской гимназии и окончил её, как единую трудовую школу 1-й и 2-й ступени в 1919 году. Работал чертёжником в земской управе. Затем поступил добровольцем в Красную армию и участвовал в боях с отрядами генерала Улагая. После демобилизации в 1921 году на Кубани, он поступил на химический факультет Кубанского политехнического института. Переехав в Москву, с 1922 года он продолжил учёбу на химико-технологическом факультете института им. Г. В. Плеханова, вскоре переведясь на физико-математический факультет МГУ, курс которого окончил в 1926 году. Дипломную работу он готовил в лаборатории профессора Н. А. Изгарышева. Затем был зачислен аспирантом в магнитную лабораторию профессора В. К. Аркадьева, семинары которого посещал с 1923 года.
С 1929 года — кандидат, а с 1936 года — доктор физико-математических наук.Работал в МГУ имени М. В. Ломоносова до 1954 года, профессор с 1931 года.с 1955 по 1957 год — профессор Московского института химического машиностроения.с 1963 года — заведующий отделом физики неразрушающего контроля АН БССР,с 1967 года — заведующий лабораторией этого отдела.1940 год — действительный член АН БССР.Умер 21 ноября 1976 года, похоронен на кладбище села Луцино Одинцовского района Московской области. Основные работы посвящены ферромагнетизму, физике горения, теории пластичности и прочности, сегнетоэлектричеству, биофизике.1928 год — сформулировал закон индуцированной анизотропии, играющий большую роль в современной теории магнитных материалов.1934 год — независимо от Ф. Биттера предложил метод магнитной металлографии и экспериментально доказал существование областей спонтанного намагничения ферромагнетиков. Исследовал влияние магнитных полей и упругих напряжений на различные физические характеристики ферромагнитных металлов, изучал температурную зависимость важнейших магнитных параметров. Создал аппаратуру по неразрушающим методам контроля промышленной продукции — дефектоскопы, магнитный анизометр, магнитный микрометр и др.