Родился в Ленинграде в семье служащих. Отец, Агулянский Илья Соломонович (1923—1985), участник Великой Отечественной войны, мать, Михалева Александра Васильевна (1922—2009) — страховой агент. Прапрадед Л. Агулянского — Савелий, был кантонистом и погиб под Плевной во время русско-турецкой войны. Его единственный сын и все потомки получили разрешение проживать в Санкт -Петербурге (в тот период евреям разрешалось проживать только в местах оседлости).
В 1982 году Л.Агулянский окончил Первый Ленинградский медицинский институт им. акад. И. П. Павлова (в с 2013 г.- Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет имени академика И. П. Павлова), работал врачом—урологом в клинике Эрисмана, затем в городской больнице № 12.
В 1988 году эмигрировал в Израиль. Окончил резидентуру по урологии в Медицинском центре Шиба Тель-Хашомер. Работал в медицинских центрах Барзилай и Вольфсон в должности старшего врача урологического отделения. Полтора года служил в ВМФ Израиля корабельным врачом, затем в этом качестве призывался на военные сборы в течение 15 лет.Работает урологом в собственной клинике в Ришион ле Ционе. Автор и соавтор двух монографий и более 40 научных статей по урологии в международных журналах и материалах международных конференций.
В соавторстве имеет патент на изобретение.Книга «Простата и её болезни» трижды издавалась в Израиле на иврите и на русском языках.