Геннадий Абрамов родился 23 февраля 1939 года в городе Кинешме Ивановской области.
В 1956—1957 годах учился в Ярославском государственном медицинском институте.
С 1957 по 1960 годы учился в Белорусском хореографическом училище по специальности «народно-сценический танец» .
С 1960 по 1972 годы был солистом балета в театрах Куйбышева, Самарканда, Челябинска.
В 1965 году был партнёром балерины оперного театра «Ла Скала» в Милане Лилиан Кози.
В 1972—1976 годах учился на балетмейстерском отделении ГИТИСа (курс Александра Лапаури).
В 1976 году начал заниматься постановкой танцев, тогда же началось его сотрудничество с режиссёром Анатолием Васильевым. Осуществил хореографию в более чем 100 музыкальных и драматических спектаклях (««Взрослая дочь молодого человека» » , «Серсо» , «Шесть персонажей в поисках автора» , режиссёр Анатолий Васильев), а также в фильмах «Завтрак на траве» (1979), «Родня» (1981), «Любовь и голуби» (1984) и других.По либретто Абрамова написан балет Михаила Коллонтая «День рождения Инфанты» (1979).
В 1983 году поставил балет «13 вариаций Пиковой дамы» (музыка В. Рябова, исполнители — М. Лиепа и Ю. Володина).
В 1987 году вместе с актёрами спектакля «Серсо» присутствовал на аудиенции у Папы Римского Иоанна Павла II.
В 1987 году участвовал в мастер-классах Питера Брука и Петера Штайна.
В том же году стал одним из основателей театра «Школа драматического искусства» , с 1990 года вёл там курс пластической импровизации «Класс экспрессивной пластики» (с 1999 года — самостоятельный театр под руководством Абрамова). Первый же спектакль курса стал лауреатом премии «Золотая маска» в номинации «Лучший спектакль современного танца» В 1994 году совместно с Иосифом Райхельгаузом открыл во ВГИКе курс «выразительность актёра» .
В 1997 году вёл лекции по теории жеста в Гейдельбергском университете и сотрудничал с берлинской «Танцфабрик» .
С 1 июля 2002 года по 2007 год — художественный руководитель и профессор кафедры танцевальных дисциплин факультета современного танца Гуманитарного университета (г. Екатеринбург).Скончался 17 июля 2015 года в возрасте семидесяти шести лет в Москве от сердечного приступа.