Детство и юностьАлибаба Абдуллаев родился 23 марта 1915 года в Баку в семье известного в те годы в городе марсияхана[прим. 1] Абдуллы и домохозяйки Пустаханым.
В возрасте 16 лет он устроился на работу в типографию. Ещё в детстве у него была тяга к музыке и искусству, поэтому в свободное от работы время он стал посещать бакинский клуб имени Абилова, где принимал участие в танцевальной группе.">Воспроизвести медиафайл Азербайджанский народный танец в исполнении Абдуллаева в дуэте с Аминой Дильбази (фильм «Фестиваль народного творчества» ; реж. А. Атакишиев, 1937)В 1935 году Абдуллаев был отобран композитором Узеиром Гаджибековым для танцевального ансамбля создаваемой им Азербайджанской государственной филармонии — и в 1936 году стал членом азербайджанского ансамбля песни и пляски при филармонии, учреждённой в том же году.
В ноябре этого же года в Баку состоялся первый фестиваль азербайджанских народных танцев, где он принял участие.
В 1936 году Гаджибеков писал про Абдуллаева: Алибаба глубоко чувствует ритм музыки. Зрителю кажется, что его танцы оживляют визуальный образ звучащей мелодии..mw-parser-output .ts-oq{overflow: auto;font-style: normal}.mw-parser-output .ts-oq .ref-info{font-size: 100%}.mw-parser-output .ts-oq .NavToggle{float: none;position: static;right: auto;text-align: left;margin-left: 1em}Оригинальный текст (азерб.)[показать]libaba musiqinin ritmini drindn duyur. Tamasacya el glir ki, onun rqslri sslnn melodiyann yani tsvirini canlandrrПо словам киноведа Айдына Кязимзаде, искусство Алибабы Абдуллаева созревало, развивалось и достигло своей творческой вершины под руководством и при поддержки Узеира Гаджибекова.
В 1938 году вместе с ансамблем, который возглавляла Гамэр Алмасзаде, он принял участие в первой Декаде азербайджанского искусства в Москве.Военные годыВ апреле 1941 года Абдуллаев получил должность ассистента художественного руководителя ансамбля, в июне того же года он стал руководителем танцевальной группы. Осенью участвовал в концертах перед советскими войсками в Иране.
В годы Великой Отечественной войны Абдуллаев в составе ансамбля песни и пляски филармонии выступал как на фронте, так и в тылу.
В 1942 году на него была возложена постановка кантаты «Родина и фронт» Узеира Гаджибекова.
В военные годы Абдуллаев становится также постановщиком и исполнителем патриотического марша «Деде Горгуд» .
В 1943 году Алибаба Абдуллаев был удостоен звания Заслуженного артиста Азербайджанской ССР.
В этом же году в составе группы деятелей культуры, куда также входили Самед Вургун, Бюльбюль, Алескер Алекперов, Гурбан Пиримов и др., он был направлен на фронт в район Моздока, где встретился с воинами 416-й стрелковой дивизии, в основном состоявшей из азербайджанцев.Последующая карьераПосле войны Абдуллаев получил приглашение от композитора Сулеймана Алескерова для работы в Театре музыкальной комедии имени Джалила Мамедкулизаде (ныне — Азербайджанский государственный театр музыкальной комедии). Здесь он принимал участие в таких постановках, как оперетта Фикрета Амирова «Гезюн айдын» (Алай), Сулеймана Алескерова «Беш манатлыг гялин» (Гияс), Виктора Долидзе «Кето и Котэ» (Котэ), а также выступал в качестве постановщика танцев.Дом в Баку, в котором с 1940 по 1980 год жил Алибаба Абдуллаев. Улица, на которой расположен дом, носит сегодня имя АбдуллаеваВ 1947 году в период подготовки к I Всемирному фестивалю молодёжи в Чехословакии, Абдуллаев вновь был включён в состав танцевальной труппы Азербайджанской филармонии. Там он был удостоен дипломом лауреата фестиваля.
В 1957 году он стал участником VI фестиваля молодёжи и студентов в Москве. Им была подготовлена концертная программа, а также танцы, постановщиком и исполнителем которых являлся он сам. Его участие на этом фестивале было отмечено четырьмя золотыми, одной серебряной и тремя бронзовыми медалями.
В 1959 году, в дни Декады азербайджанского искусства в Москве, Гамэр Алмасзаде попросила Абдуллаева поставить ей танец, который она с успехом исполнила. Танец, поставленный Абдуллаевым и исполненный Алмасзаде, был высоко оценён специалистами. 11 июня этого же года Гамер Алмасзаде была удостоена звания Народной артистки СССР, а распоряжением Верховного Совета Азербайджанской ССР от 10 июня 1959 года Алибаба Абдуллаев получил звание Народного артиста Азербайджанской ССР.
В 1960-е годы работая хореографом, он создал целый ряд танцевальных композиций по мотивам произведений таких классиков азербайджанской литературы, как Джалил Мамедкулизаде, Молла Панах Вагиф (на музыку Джахангира Джахангирова), Джафар Джаббарлы и др..Надгробный памятник Абдуллаеву на II Аллее почётного захоронения в БакуВ начале 1960-х ансамбль песни и пляски Государственной филармонии побывал на гастролях в странах Африки, в том числе в столице Марокко, в городе Рабат, (на сцене салона «Райал» ) и Касабланке. Выступления ансамбля и танцы, поставленные Алибабой Абдуллаевым, были встречены положительными отзывами в местной прессе и запечатлены в двухсерийном документальном фильме «Африканские встречи» (азерб.)русск. киностудии «Азербайджанфильм» .Также Абдуллаев преподавал в Институте искусств имени М. А. Aлиeва и Бакинском хореографическом училище, сотрудничал с Рашидом Бейбутовым в его Театре песни в Баку.Скончался 9 августа 1980 года. Похоронен на II Аллее почётного захоронения в Баку.