Родился 23 марта 1920 года в городе Шуша в бедной и многодетной семье портного. После окончания занятий в 7-летней общеобразовательной школе, поступает на Шушинский педагогический рабфак и одновременно учится в музыкальной школе по классу тара у преподавателя Гамзы Алиева.
В 1936 году Ашраф приезжает в Баку и поступает в класс композиции Азербайджанского государственного музыкального училища. Также в это время был включён в состав оркестра народных инструментов под руководством известного композитора и дирижёра Сеида Рустамова, для участия в первой Декаде литературы и искусства Азербайджана в Москве. Учитывая талант юного Ашрафа, руководство Музыкального училища ходатайствовало о досрочном переводе одаренного третьекурсника в вуз — в Азербайджанскую государственную консерваторию. Однако в декабре 1939 года он был призван в Красную Армию.
В армии он был музыкантом военно-духового оркестра 345-го стрелкового полка, дислоцировавшегося в Беларуси. Там он встретил начало Великой Отечественной войны. Сержант Ашраф Аббасов был тяжело ранен под городом Ельня, недалеко от села Новоспаска. Несколько месяцев он лежал в Томском военном госпитале. Демобилизовавшись по болезни, Ашраф Аббасов поехал к родным, в Шушу, где в домашних условиях целых два года продолжал лечение.
В Шуше он работал педагогом в местной музыкальной школе. Вскоре он возвращается в Баку и продолжает обучение в Азербайджанской государственной консерватории, где обучается у профессоров Б. И. Зейдмана и Узеира Гаджибекова.
В 1952 году он с отличием оканчивает её и поступает на аспирантуру при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского. Вскоре он защищает кандидатскую диссертацию под руководством М. И. Чулаки и становится первым среди композиторов азербайджанцем получившим учёную степень. После этого, он приезжает в Баку и работает доцентом на кафедре композиции в Азербайджанской государственной консерватории.
В разные годы он возглавлял музыкальную школу в Шуше, а в Баку — Музыкальное училище, много лет носившее имя Асафа Зейналлы.
В течение четырёх лет он работал ректором консерватории, там же в течение 15 лет заведовал кафедрой композиции.Член КПСС с 1946 года.
Карта сайта
