Родился 1 января 1845 года в дворянской семье молдавского происхождения в Екатеринославской губернии.После окончания курса в Полтавском Петропавловском кадетском корпусе, в 1863 году был зачислен корнетом в 10-й гусарский Ингерманландский полк.
В 1871 году Абаза оставил военную службу и стал активным земским деятелем.
В 1872 году на общем съезде землевладельцев Верхнеднепровского уезда Екатеринославской губернии он был избран участковым мировым судьей уезда.
С 1875 года Абаза состоял одно трехлетие земским гласным и по Екатеринославскому уезду.Деятельность его в качестве участкового мирового судьи Верхнеднепровского уезда была столь заметной, что стала известной даже в столице.
В 1881 году он был избран по выборам Санкт-Петербургской городской думы в столичные участковые мировые судьи и состоял в этой должности до 1893 года, когда был назначен председателем Санкт-Петербургского столичного мирового съезда.
В 1890 году принимал участие в занятиях особого совещания при первом департаменте министерства юстиции для обсуждения некоторых вопросов, касающихся изменения и дополнения действующих узаконений о поверенных по судебным делам. Благодаря интригам и проискам, не имевший юридического образования, Абаза был забаллотирован в Санкт-Петербурге, но его поддержало Министерство юстиции, назначив в Прибалтийский край председателем мировых съездов.
С декабря 1893 года он состоял председателем Митаво-Балтского съезда мировых судей и начальником крепостного отделения съезда.
В 1886 году Абаза по личному приглашению министра юстиции принимает участие в заседании Особой комиссии для обсуждения проекта правил счетоводства и отчетности мировых судебных установлений.
С 19 марта 1901 года Абаза состоял членом Киевской судебной палаты, одновременно являясь почетным мировым судьей Верхнеднепровского уезда Екатеринославской губернии (с 1882 года), почетным мировым судьей по Винницкому округу (с 1884 года) и почетным мировым судьей Киевского судебно-мирового округа (с 1905 года).
Он много содействовал улучшению положения мелких канцелярских чиновников, а в Санкт-Петербурге учредил даже товарищескую ссудно-сберегательную кассу. Как сказано в некрологе, «будучи либералом в благородном смысле, как передовой человек 60-х годов, он глубоко возмущался нашей „прогрессивной“, ничего не делающей молодежью, „освободительным“ движением и левой печатью» , а потому стал одним из первых членов РС в Киеве. Его авторитет среди киевских монархистов был весьма высоким. И, когда его первый председатель отдела В. А. Сухомлинов, будучи назначенным Киевским генерал-губернатором, отошёл от дел, его преемником стал именно Абаза. Его публикации в «Киевлянине» в 1905—1909 годах на злободневные темы общественной жизни, отстаивающие неограниченное Самодержавие и раскрывающие пагубную сущность революционных идей, вызывали общий интерес и становились предметом живого обсуждения.Высочайшим приказом от 19 марта 1911 года Василий Константинович, будучи действительным статским советником, назначен членом Киевской судебной палаты и в этой должности находился до дня смерти. Скончался 7 июля в Ялте.